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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @~k%kYDX_  
$1?4zW  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. arn[ER6j|  
]DX$Y=`4s  
　　1、三角函数本质：  QVayYu  
c,_-0T%N  
　　三角函数的本质来源于定义 .x 1ce/  
c$V{2Vvn  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 eMq ?CTP  
! AT$  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 r$riV > 9  
4m$ b{G  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 3|/O6UT  
<K 4:k=  
　　推导： CyGK38Hg:  
=NuAD`=  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 fsk`l-62  
y'5F  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "n6 eM  
P AtQ60AC  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Xf/ O%r  
4`*a|c7rC  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 JS* 2=0  
=S#C 6Z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Fst]o#_7  
;_89U  
　　[1] 63d4"=m  
)i`_}M  
　　两角和公式 v$k'h  
Cy6]I(.J6  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB @~>%J&$|&  
})z9YdF  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  c}2\ CJaP  
so#%\uks  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 4~5\h_E/  
M84S4'00c  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 7})pDnn  
,nhE}s  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) G+= yRy  
d-[Jj @!j  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `DcD9OzFu`  
%Vw-*=5N  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  jUmYPBI  
<VGK$1jk"  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @;b97  
.\1$zs02$  
倍角公式 '?J-p7}iq  
^~ Xv& F  
　　Sin2A=2SinA•CosA P*D!85{  
8MM|g  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 /(oInJ^4  
I0LS*c8 W3  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） GRyNM0f8*  
m<G<b"e  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /#hDf2%2h  
erxZwUIe  
三倍角公式 zlX?H$  
[8o+|;@c  
　　 |N/8$*o  
FD6 y(q  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) A!TPbm  
w z >(XZ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pCG?hY8'@0  
BlQ'X  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) o;+[SSM1~  
^)g_wZ.b n  
三倍角公式推导 UmJk69CTA  
M 1!Ir1  
　　sin3a |Oxi`XP  
?ghjYx--  
　　=sin(2a+a) l=Vg Ky/  
r=*7iZe)CS  
　　=sin2acosa+cos2asina zse > Ze  
Uxmn}|%/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 6Y7yO m+A  
S|5u s{  
　　=3sina-4sin³a %hm}M4^  
NRe=X]f  
　　cos3a 6gwm$hP5I  
&J^D7Bzs  
　　=cos(2a+a) :ygAs,:  
>2P, qo  
　　=cos2acosa-sin2asina '.{SV^Fj  
Y8swbz E  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 1S]\ES85  
R-a3sqtl  
　　=4cos³a-3cosa :LGE{ :,}  
DnlvKPv  
　　sin3a=3sina-4sin³a +qtG )!  
['.4~|/  
　　=4sina(3/4-sin²a) 7ieAS7N9  
7xaT  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `wtboSF  
|bu{n}o#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |Zqcw(I  
vQ3E&J00  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) "^zjzaFTb*  
zDl| ]1n  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Te'pG:05Q  
%Q)_{1WDZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) +3;C N  
hY+^pS~/  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ]*`0aX   
a.M6V>8\,c  
　　=4cosa(cos²a-3/4) /0pS09~%  
/S%3~/@  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] rL)2OQ&  
cQabUiAX  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ;P W/z  
},MIOh&Mv  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  3-5H   
j-{Y4it_  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %S^Ye  
E9#7JTO  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) %QuF&Qp*  
.,R Cc]|di  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  \pZTr  
Hcvq+{  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _eCEr  
zOm)a\Ck  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Afw"-.z*z  
6(q4B[@  
　　上述两式相比可得 "d_AI}.  
A`R j5Y  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) #*wh("#e  
]M T{=-  
半角公式 S!e(  
$}4@>vph7  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); O8O :MFSx  
z_; L4Y,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 2A%HGhB  
o4Z@=$In  
和差化积 )HsJf~p7bk  
hBA3 6UP  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] aDRGFkH9  
Nm<hdH  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {[yw"I]4I  
yIJ:}gvV  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /WyT Z=>  
|1#o?_(dV  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] KK@XY~yc(  
q.BtS|Y  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) v-Q];@\  
Y>a=bMF=  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ^.IAD  
36OyzixhF  
积化和差 oE*H6K?Z  
4?)<R^6z  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] A"+|AHUu  
;R X,WDw  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] QLd4As6  
$K/GBf`y  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 10]Ff  
uz^(DF"J  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Fwj !y|"'~  
FfU ..  
诱导公式 :bmM.2$'K  
"xk->C]E  
　　sin(-α) = -sinα vK4:B$  
n^vPrJPiL  
　　cos(-α) = cosα @5gufPF  
Po}BbCguF  
　　sin(π/2-α) = cosα 4s#w2N(E  
X^dDwiU,&:  
　　cos(π/2-α) = sinα MI^\/O(N  
[$.{r8l)(8  
　　sin(π/2+α) = cosα C&Gf[(#H  
H0'KO X  
　　cos(π/2+α) = -sinα QQ^hrcEEi  
j y'bgY1  
　　sin(π-α) = sinα %i*An8G  
*Wq2s'j&G  
　　cos(π-α) = -cosα '&EP&*e  
x-Z N1jq=  
　　sin(π+α) = -sinα l5>c}}]CQ*  
YP >RL.l7  
　　cos(π+α) = -cosα > g;Pv  
L0,[md  
　　tanA= sinA/cosA y `cUyCo  
_ 5bIDFn  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα QVUv!F]  
_vY i^ ,  
　　tan（π/2－α）＝cotα i`p`!r-  
{S;?G]WE]  
　　tan（π－α）＝－tanα /N_4   
@H8>:-T  
　　tan（π＋α）＝tanα >%W.~U  
6V4nG%CS  
万能公式 lO0Y(S#b  
XD_ $L  
　　 !BNvs\  
y0<J&`7Yc  
其它公式 &Xq~e!;s  
ao3-5`sRR  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 NhbFC= X  
&2v$P-(z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 B9]9vg  
ZsGe8g  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ydI>#tw  
wsT2,E%6  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 *aMb7h(ra  
, :d'x?  
　　对于任意非直角三角形,总有  ##3d  
Up^}H;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC CScPg^rR 3  
1W}5  
　　证: L<n >K\;q  
%Guc 76  
　　A+B=π-C zzLR%<Fk   
; 103Bd\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) i8"BW  
}iGAJT@"K  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^N8D^0)fb|  
PY!6Q wG  
　　整理可得 Q[kz]pa9  
8LF9AM  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5%\xdRN  
`(FK<k  
　　得证 s~|z88R2a  
`%V _7;U9  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 9o@LJ=E}a  
st3: Dy  
其他非重点三角函数 _q{$$D*  
0}s=80&y  
　　csc(a) = 1/sin(a) <H1_  ]Z  
4Mm&0ctp  
　　sec(a) = 1/cos(a) c&5=-  
(Q4k9  
　　 cZq$8IB6Io  
RLG[d ,o?  
双曲函数 J{r>  
@hDMGeOn  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 @ 0g[K& V  
2d9tzEhG  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 3UF=H DZ  
[I3``l&4  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) g~G6y eBk  
[VwxywE&  
　　公式一： 3.Fk`V #  
y %]h) ^  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： f|w]E7  
9o*T .$U  
　　sin（2kπ＋α）= sinα M_~4d6k  
_7.1T9\  
　　cos（2kπ＋α）= cosα MC@iA ],v  
wR=:4kl&  
　　tan（kπ＋α）= tanα  &9b@   
Yy}VDx,G   
　　cot（kπ＋α）= cotα 98 1G(&  
Y#c>Z-  
　　公式二： *Q()Z1Tm  
ds4[zu$  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： .&z k =  
?|wLp~  
　　sin（π＋α）= -sinα 7mqB.U 6,  
"rLQ$xsG  
　　cos（π＋α）= -cosα ==""y6 P4  
K4C\8.)  
　　tan（π＋α）= tanα MFY~3qN|  
YG=GEUy  
　　cot（π＋α）= cotα 0I`Ou xzc  
u1uw7_  
　　公式三： 4J>70G  
h-z&=|{j\  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： i4WJ(   
o+bxxD y!  
　　sin（-α）= -sinα <]$yzaD#  
Cme W0<jC  
　　cos（-α）= cosα (c!q[.9e  
0= 8 WT  
　　tan（-α）= -tanα $*x_?i9O7M  
b ~$8PR4+  
　　cot（-α）= -cotα hQA_IOg  
[67fzRL  
　　公式四： r cWG! G8  
e \P 8k"  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： B3Ong32M  
Em^V_T;Z  
　　sin（π-α）= sinα 4$sO= r<5  
ciPf(* h  
　　cos（π-α）= -cosα bt7#gGqGv  
Ir"v XFa  
　　tan（π-α）= -tanα kn\Pk0  
S (M)#m  
　　cot（π-α）= -cotα 6?'tV]  
*Hm>-6  
　　公式五： OaC0 ay@;  
4#Ttb5.:2  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [\&SxRx+N  
.6S OYmP  
　　sin（2π-α）= -sinα 7Xj)%=ja  
1bE~qU$YJ  
　　cos（2π-α）= cosα |RWW^{]x  
'A1z?&_N  
　　tan（2π-α）= -tanα K!Wm_7sma  
>:jL`f66  
　　cot（2π-α）= -cotα oFC`XZ$  
_[gd3AY  
　　公式六： E*!-_VN  
&clV7|r  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： od|kVBSB  
5kqJ>b Lw  
　　sin（π/2+α）= cosα kEPUdHsu  
YA+D+jr  
　　cos（π/2+α）= -sinα +4w+yQ<  
f1Zx{J"q  
　　tan（π/2+α）= -cotα EWjA<  
0}F~M  
　　cot（π/2+α）= -tanα IArOQ)  
{L+-mN"V,  
　　sin（π/2-α）= cosα ]'u9n"wE'  
Face~ch]L  
　　cos（π/2-α）= sinα m$6aq!qJ  
k}ui@_#u  
　　tan（π/2-α）= cotα C){D*@K  
Uk!K|J,=d  
　　cot（π/2-α）= tanα +t,gqPt2  
.:\s~#U.C  
　　sin（3π/2+α）= -cosα kY[t=1Z  
15^qVl<  
　　cos（3π/2+α）= sinα Lc2z C  
aIfPf  
　　tan（3π/2+α）= -cotα #+jpRPo[.  
|T47W2h!H  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5FBHW  
^[j6vRTD6  
　　sin（3π/2-α）= -cosα zb<3;rD  
q9&/S)juw  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Ecnu>n[z P  
yxjZ4Nd E  
　　tan（3π/2-α）= cotα }.0~x'?:  
hz5h<  
　　cot（3π/2-α）= tanα P[mJ-kT D`  
)`"[/  
　　(以上k∈Z) h$;QD?  
&[@w ?,Ad  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0w?`F85  
$FY>n%YR>  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~"[5&@P/  
WvDH`(m<  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } H^Cn<J.}x]  
X8Q D5!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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