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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 qhM{rPjW  
5e&N-:  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. o& <<7  
s5bkp+\$  
  1、三角函数本质: hD)@w N  
rhY*E?  
  三角函数的本质来源于定义 u/Bqd=  
1QY%6Uvu(8  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l >1Xj  
7&j".E s  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 mI@8NA^\  
cza^E$0T7  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: a^L3a  
xRsA7,>  
  推导: e% (>q>(  
C>U`y:W?7  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 ?BVcb9_  
MX|q)%.if  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Ww<@ZKI  
 7mK[8$  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) f2d}[AZ#  
~uhZoG  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +!lR   
F$ `[Ev#Q  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) QV=S*xQ`  
$ ".Pnj  
  [1] |m\d.t1d  
MRBVUx Y  
  两角和公式 Hs#Wn  
hKGa>@[I  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3H;ye;h#  
{[^~BD`,  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   wHeUH  
Gt]qY?M  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB :3uxI]5>  
 >0x+?:w  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 61;j=*  
>G4.ohh`  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) W[l?Tp"N  
Y!)@x;5b  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) H.CnD4 *gP  
)[^9  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  eJ?THmx=  
49dC7rX  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) yz<>.|  
|-xFlkv  
倍角公式 / !{ @s70W  
x!r N&<R  
  Sin2A=2SinA•CosA Xuq?{mi"s  
l F(F /h  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 I,^y q  
JbMS>NTC  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) oN& egK  
rckj^{,\  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) G"WP %"  
p#>Z#8/{L  
三倍角公式 n[8Qk67  
Et9F$ KA  
   ?!HDjc^~5  
>(] (='f  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) A8 BzoYQ{  
z'`V.  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) , 5rsGESf  
Gqa 1?3  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Hgd?;Lef  
^#m{.HH65  
三倍角公式推导 UX:x%C\E  
w>V|CRS9  
  sin3a hkw)&EC{  
{++6%nGn  
  =sin(2a+a) VJK[+*vw  
$+C`rB At  
  =sin2acosa+cos2asina xi6qf^]6^  
!_h`V~T_  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina E$d0M/l1  
G,A{q" 'JM  
  =3sina-4sin³a k9 d&D"  
.fq{A EHl  
  cos3a r]mGw nue  
5,ycpn}X'  
  =cos(2a+a) 1Th4V ZP"  
:l6XmpjhY  
  =cos2acosa-sin2asina BY=|^VGKXM  
0E -s@bhU  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qsS T t1  
+?r!Om  
  =4cos³a-3cosa i6:#T  
i08oLR2`X  
  sin3a=3sina-4sin³a mOG{7$~v{f  
/BF*?QIK  
  =4sina(3/4-sin²a) O^NXFjz%Y  
,^0 ,W P  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 4:u)E6.o  
K)xq<zN  
  =4sina(sin²60°-sin²a) NF9d73'  
@GO) =E-S  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %:o5q?6id  
l{[l{M0.  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] G|2&pJy  
heG0'=S  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) > 0eD0Fj=/  
:QS @yO9>D  
  cos3a=4cos³a-3cosa zUDI*Ph\,  
)_9(5^ky*u  
  =4cosa(cos²a-3/4) ) cB^x^b  
@C }RZ] A  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] "Opy[7  
SU1v-CsX  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) [ f+{ J\  
PL[q2l l  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Owj\ >U<  
!Q,g 2d  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} a$Z&O[  
w6Dm%0G  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) A m[*~   
Jgzv}&D_  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *4)Gz.R406  
|BJ}Sk7  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] <KZ 5:[Tm  
(\2"xP  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )aJ8at  
nn,a2}p  
  上述两式相比可得 &{{zZ}8M+  
O`<0T#(ZH  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) UK^FPMZ  
d'#NhD!  
半角公式 FU "(UJ  
Q*{&Y`f  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Q/n/8s:*  
,:_/2YL"  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "ZW9f_Ik  
rGRI=M`ZA  
和差化积 _7S=]L  
37_=.L  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Mg|=6%q  
=,_( S  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I +,]74jV`  
*p47-1@L  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /&ne-?4  
B rAI  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]w7RRHWs;  
'{sS-W|  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) k@_\~f2k0  
Wgau~7x  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ru]Het4C  
t\ 8,Hfr  
积化和差 [l*'FKMl  
. )H8)ssd  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YJap*\U=  
<[^>&_@[QN  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6imHmhPeE  
)w(#AAg  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7HipoKZo  
{|U*P^c w  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] iRU#<0(  
<`VxS@ fcf  
诱导公式 \p;fV5  
PRVr!nI*  
  sin(-α) = -sinα izZJLZ  
 >&Q9mm?  
  cos(-α) = cosα T>/%80kz&  
U&c6x1$ B  
  sin(π/2-α) = cosα c%O9$UM9  
vEr7<Ic`4  
  cos(π/2-α) = sinα Cu]0'ah`T  
S|^IZIF4"  
  sin(π/2+α) = cosα !o[4Yjly  
:'VSo4+qf+  
  cos(π/2+α) = -sinα (%sPjR3^  
iV ?o&HZ  
  sin(π-α) = sinα yW yn EbF  
"=w_h;  
  cos(π-α) = -cosα @Fa{  
QI$q/@"   
  sin(π+α) = -sinα e]51<a,  
spjVq/TS~d  
  cos(π+α) = -cosα b_Uh=|9  
B$<.$:w(O  
  tanA= sinA/cosA ILG & Y  
wg i4F  
  tan(π/2+α)=-cotα ,^}xe[MM  
*|m66,l!Z+  
  tan(π/2-α)=cotα W[gQ^b^k  
r :SV#o)  
  tan(π-α)=-tanα 9Lks8n Ha  
7:Rs,|N#D  
  tan(π+α)=tanα 3*`GptK.\  
tc[B}C3  
万能公式 'Ls *55  
f.]==  
   E?% Pvh(]  
McS0|O-  
其它公式 p(0R,  
]Z O0sJW  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 Szs`-xE  
oh[u,)/  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 \4&7|>P8   
v[<'^okR9  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 S<pw'^/  
8UO>LwWD  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 kRi' b  
VuLeiL0  
  对于任意非直角三角形,总有 4RvAsW  
P)<G UDe  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4YZ$ca  
m7ft :'B(  
  证: bfG-{4Rw  
i=TXR$(   
  A+B=π-C 1m<dJ  
c(Q;}B[C  
  tan(A+B)=tan(π-C) r{M&pb  
![63cLSi6  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) iA:{s ?5  
waI13SH  
  整理可得 bCnIO~  
l;PMA  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC st4W/Ght  
76c1_V~$l  
  得证 4|=k."0#-  
#H~X-~c A  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 W :"?y!@W  
F9lDl-6  
其他非重点三角函数 o Y WgT  
;C W=-$Z  
  csc(a) = 1/sin(a) ,:o;w C+,  
c +R5{m\Wd  
  sec(a) = 1/cos(a) -lP{Fg^c  
%G3ls 3#  
   I#^gJ@;L  
S&_YZ)#9f  
双曲函数 )bS='H!M  
ZVo^L2X`  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 U1QG4p?lM  
@ing06  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 *'MxDG$(tR  
m5 "5'zME  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) t[.<A^  
VSB7_x  
  公式一: P4h2Oax  
>~ZNJ-d E  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: zwj)6.a$  
 )+ *  
  sin(2kπ+α)= sinα vuw6&v &0P  
WX+@rH;  
  cos(2kπ+α)= cosα SIRK~1G*  
s4>sI<6|  
  tan(kπ+α)= tanα vyykz-C  
q2ce7L&  
  cot(kπ+α)= cotα D0TL!$~?w  
2c6$QZr~`.  
  公式二: ~A)v/fAvg  
. ?)`K!{  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: &uQt lN  
:TEo.lUD  
  sin(π+α)= -sinα g+y H6mS  
] l fB  
  cos(π+α)= -cosα LE_;,=H  
Dc6NRBme  
  tan(π+α)= tanα 7 aZbA  
lU/a(?wdVY  
  cot(π+α)= cotα zRWgUQs4  
K<DZ<,*9Y  
  公式三: FcyUtzgc/  
@wBuo]d  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: :Cyh<C+!7  
{HzK= ,  
  sin(-α)= -sinα %_Jq!2@  
vWn[NENbab  
  cos(-α)= cosα @l ,.VQ  
uai&^GLU'R  
  tan(-α)= -tanα Qi43B{o-  
LB CaD 8a  
  cot(-α)= -cotα /y?N[N  
[>rjx  
  公式四: [0kU nF  
'f{AaM__  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: s: #kAQp  
Lm{oi#   
  sin(π-α)= sinα yPag1^~=Q}  
z`o.E<I  
  cos(π-α)= -cosα 5Yzpvmz#7  
&r G\~ZF  
  tan(π-α)= -tanα sFVm*A  
izFmXi;  
  cot(π-α)= -cotα &4d g8O2h  
Vb)iAk e{  
  公式五: >>W\*Zz  
+bfX^` 6  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: pWq$)x  
9R0/u  
  sin(2π-α)= -sinα I f!=&GV  
N5Y|;yM%  
  cos(2π-α)= cosα evx;KV<  
:STTF3(  
  tan(2π-α)= -tanα ,NZCvp,  
*Mw 0#za  
  cot(2π-α)= -cotα 0"A cq  
W2?utq3  
  公式六: deE(u[_T  
U)Ny 67  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: CydLn/  
^ii.|  
  sin(π/2+α)= cosα \=eWqGPC  
oRf>sL7)  
  cos(π/2+α)= -sinα M#iPI(W^U  
J8!6&El dZ  
  tan(π/2+α)= -cotα YDea>sSJ7  
7cj;"\P  
  cot(π/2+α)= -tanα 2O(~? =(;  
Mc@D]20\/  
  sin(π/2-α)= cosα HG@ c gz  
>Ch[wk{r  
  cos(π/2-α)= sinα n6%Ef@(&^  
g~bQ!iv  
  tan(π/2-α)= cotα ]S(xK3  
pwa z!d</  
  cot(π/2-α)= tanα \7kJ"H[ L  
V11c A#  
  sin(3π/2+α)= -cosα X]8]Sgi   
Yp2 nUS  
  cos(3π/2+α)= sinα ><<9.  Z  
*s*Xe4  
  tan(3π/2+α)= -cotα vNa`a  
g Va=(OL  
  cot(3π/2+α)= -tanα <>8JYa_Q  
4t1"nGlX  
  sin(3π/2-α)= -cosα v3cOm[8  
xwAIU,[014  
  cos(3π/2-α)= -sinα `W( [@7j  
(LO/HZxf  
  tan(3π/2-α)= cotα -~M CR +  
iGixW_?~  
  cot(3π/2-α)= tanα uCJXS|3[  
gpt8LuUaZ  
  (以上k∈Z) *W/hE~m  
m_9]~t@  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Tt<:WMYWV  
 K&Y BF   
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = zfLC;\d  
`w#}wvN;  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +R&+z1jV/`  
F3i.O+&T  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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