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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 iBu ^h  
GC0R_x\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. y~>$Mj  
*R^gzFW  
　　1、三角函数本质： 6`^E"w8Y M  
/LxtIEwce  
　　三角函数的本质来源于定义 vBqd/S9yj  
Wz1A(RS \  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 uIG pQ2  
F0T@]f0T  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导  }O0`#   
3{;b 5c  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： aH}Bi&PNm  
yJ/=a~=h  
　　推导：  O7=sAO  
7Bo =#  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -'y(0RI=  
AjFr97s  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4]UCDLSs#X  
?~UL%[42  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 2\<N;\&Y  
.f!;Xo:H  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +=0nI=s2  
7fNR"X Fr  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） $_z=T)  
S7g],nw  
　　[1] :^[_`?[  
z7i:@ee  
　　两角和公式 PJns_-T  
I|IpNJ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 6,\c88_  
@y* GcS =t  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  e8EykE_\  
S>OnnSoG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^0iN{M6Q  
ci$ IKY4  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB `4y.e  
C?UM}\YJ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $%!277f  
X+&6(n\D0  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) c' )UE_  
Z <!g_RnV  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  tui98/4m  
N*SMj4fc  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) v>EDOhUGX2  
++rMq-fm  
倍角公式 Fj*`$Mfb  
qR@n%  
　　Sin2A=2SinA•CosA TC7UR<  
O/%tKP-kO(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 py:^z'Y_  
1tinNaW3&  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） pgh45 d  
+m]5 X  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） OM;o"Dq x  
[ =O)E!3  
三倍角公式 c7g)[`BF  
n>iqR(r  
　　 -s22D Bb{R  
%TVJDU  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) l.d2yvo  
Ea ~#0T  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) bdC' d|U5  
q5i0$Ih  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 8 DH")  
oF5c\m9  
三倍角公式推导  {I o4~  
>iydiL86  
　　sin3a {Y3]A8 }W  
pikrr2oS  
　　=sin(2a+a) 4|/I#{/>Ef  
%(t52/J  
　　=sin2acosa+cos2asina 4o+TdJLt-  
w+.d7L\YS  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina URc1L]  
A2y3Qp "G  
　　=3sina-4sin³a ,|*jlPi7  
- dWVQU  
　　cos3a GF(#eG&}  
. hWOH1$e  
　　=cos(2a+a) Id4!j^C  
7TL_oP3  
　　=cos2acosa-sin2asina )aPEg9= V  
6P:;$(T  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa QJ<`j  
G =fLY@L  
　　=4cos³a-3cosa l02eM  
ZmBaiz %  
　　sin3a=3sina-4sin³a `zEi42J`J  
:/ 7H|lMY  
　　=4sina(3/4-sin²a) A6`-3SJeN  
r7pOG`  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 'Xq6B  
[3c4W=x  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 3lv9   
a LtlON3  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) tE /XS9ry8  
2M VJ$Q  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [8^\Q+B|  
_L  S?;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) e;[gs%Y  
ws=EV1U  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  );je}.  
hF"r5$$L  
　　=4cosa(cos²a-3/4) H_F7gJZ.  
tDL<Q!k  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] DKbLNa2w  
3ShMMl3D  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :Db5GeJ=  
I2#mA{5o  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Af<!!=*  
<\R0V#De4  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} z)]LQ6K.  
oo+ K  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) R0;  
A0\P@pn  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] E*F.   
NOtB&T  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] fmh:NI*%]  
`MI?9}9  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ;#8&^ YaD  
AkzUJUb  
　　上述两式相比可得 e+u'Nw$  
@62Yr/d  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) h%@=E ee)  
Lotmi,  
半角公式 6 )|j3)_  
=p!EYHSxS  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Tu&| RR]nw  
2-$! 7{Vq  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. b?6;tpN `  
EF + Z  
和差化积 #5w ,lnd  
4$y1b+=&=j  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .WgV6LhfN  
? hMV5NM{  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &#?p(U  
<hDvpe=zc  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N- /".PW  
|yv1 g8O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] []KRrPis;  
m4}vs>  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) . :2"4."vt  
.l`m0'C  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) "qDhDbB  
9y= C<Ihg  
积化和差 T&`=%sZWo  
ab?lVT7R:  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] o{CjG `s*  
r|U,N#$`(  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] CcX.;3 hWK  
V4>k!zG?|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] qu%on&({B  
}TNGxP!G)$  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] A8e1&F)  
/;/Y"{VM  
诱导公式 [<o5  
nFF a  
　　sin(-α) = -sinα OyH0UDW  
]-!Jfq_ws  
　　cos(-α) = cosα eat4u6{3Y  
-o^p 7>w  
　　sin(π/2-α) = cosα % *Ez5}.  
{xNd2<ooy  
　　cos(π/2-α) = sinα HCU[%  
<-b_HB /K  
　　sin(π/2+α) = cosα 5ilB~aqS7  
|I+pjm$)  
　　cos(π/2+α) = -sinα u'5$`9  
a0Ha4ucdr  
　　sin(π-α) = sinα {}>nm Z  
grWp i~i  
　　cos(π-α) = -cosα ;Bu? q .  
.7!<-QbHr  
　　sin(π+α) = -sinα -%NUHPQ.  
Z7V#"  
　　cos(π+α) = -cosα L_}UIw]#  
kD;k%  
　　tanA= sinA/cosA njj%{{`n{  
\VF+`x3&  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Ha1E]n  
'@0B+v  
　　tan（π/2－α）＝cotα JF2Rc0.%$c  
XMxN:bu]E  
　　tan（π－α）＝－tanα vp2XD2l*  
/IeoyM  
　　tan（π＋α）＝tanα \L{=Zvr3  
(tY<GU  
万能公式 $hq1D+O  
> ',bkUZ  
　　 BiF&m_>  
E , xh~  
其它公式 r1ucmL  
!Q{0gXs  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 BLO>\<R  
 {Q&T-qu  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 4Rr.L]  
dRK9,o)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 .ZC<Sson  
Nfc8S3b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 c c:0p>  
.I+/]5L!_  
　　对于任意非直角三角形,总有 OvUomEjw8  
&f:H/EJ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L,n' >3  
%f9yig=h  
　　证: tsm~8,\(-  
 jNihDe8  
　　A+B=π-C E#`0N  
{~`yqy >  
　　tan(A+B)=tan(π-C) '~-a_m  
RO:F9i@O  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) vEhOs9pJ]2  
|dE0,VFt-V  
　　整理可得 8 m+=a-  
k/?NY:5=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /@q}Jh  
2=O|Z \  
　　得证 e9qj| +  
!2@qVHf jh  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 l~0MO[ &6  
Nc8$ng!#  
其他非重点三角函数 U[0{dc#N5  
` P ^'A  
　　csc(a) = 1/sin(a) nQ$Y 6h  
!K:$/9Eo  
　　sec(a) = 1/cos(a) ~9gT61XX  
[F?ez N  
　　 CFKP`YBD  
(xs@,k)k  
双曲函数 W&[-7_p!  
+XKzYM97%  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .E"BH1\  
< iC=fh=}  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 *!ox!"  
~ c043C  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) x)AIjIm4T  
MG3*q3?  
　　公式一： 1]mu#v  
vCryiTa  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： M%]7E N  
.5tFJ"  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u+"L+4ES  
!scGk505  
　　cos（2kπ＋α）= cosα tSC"O{]P  
5Rl*=m8  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4a;RAs:  
^z3Mvdq  
　　cot（kπ＋α）= cotα .>#?38e&  
<LGn_P  
　　公式二： T*2;Ti  
4_mF{<39  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： tgP3vo.JN  
TlKYOG56xT  
　　sin（π＋α）= -sinα 2qwWF  
N+m5Gsla1  
　　cos（π＋α）= -cosα B d #pCzx  
58&P[Co  
　　tan（π＋α）= tanα  ^_]=4s/  
pk_Sh2  
　　cot（π＋α）= cotα qV$k=Ocg  
Aru&Sx9  
　　公式三： llJIA|k  
F@^Mwa9>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： &4^`n  
56*ycFE  
　　sin（-α）= -sinα lZa\PA+ y  
syM['hym  
　　cos（-α）= cosα po,3W ^^K  
 7  
　　tan（-α）= -tanα C>:u K:l*  
)fYBz} WN  
　　cot（-α）= -cotα w-hHKi,a  
~z,9  
　　公式四： 4/!(# F^  
K1bcO5x!O\  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s % O7q"  
l=5STn@3  
　　sin（π-α）= sinα NyZ Vt7&Cv  
x"eO'W.v  
　　cos（π-α）= -cosα s6mk!a*  
16{O(t"[D  
　　tan（π-α）= -tanα *B%6~X.a  
>s1@tHbW<  
　　cot（π-α）= -cotα ,S I) G  
l DFYk)Hn  
　　公式五： OV_$[ .-  
3/_Qybn)V$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 6b&7?WmH2  
rH[_|8AB"  
　　sin（2π-α）= -sinα ;p >33Na  
\NX{ }##MU  
　　cos（2π-α）= cosα %0J]c)S  
qf@_l4d|I  
　　tan（2π-α）= -tanα ]{:ve C-  
cR8>?h#Ik  
　　cot（2π-α）= -cotα Cw4:SY0a  
S 'a 3n}  
　　公式六： 5$dZo\u  
d.QPH\;P  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： pmNNF3Noq  
H[Z`v'rgy  
　　sin（π/2+α）= cosα IYq@gQb~  
;V)hJ  
　　cos（π/2+α）= -sinα Y(^QQ  
\O$UfZxdP  
　　tan（π/2+α）= -cotα " Uq v:  
=U~3/@K#<w  
　　cot（π/2+α）= -tanα [CM+l2h  
t<~}NkspV  
　　sin（π/2-α）= cosα AnYJ,<I  
ZD/ 2H  
　　cos（π/2-α）= sinα L-V&Fm}`  
#?P(Xk[F  
　　tan（π/2-α）= cotα VgF"Tn&y  
te"k :l/K  
　　cot（π/2-α）= tanα eI\V/'w(t  
7}G,7YX4q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα {d[Iz#{x3  
6m+vFY  
　　cos（3π/2+α）= sinα fkNIzC =  
#* bMMD1C  
　　tan（3π/2+α）= -cotα [Y<i"P60  
d \Q2wt  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $56f>=  
S /u(kL<  
　　sin（3π/2-α）= -cosα SqK| ;VPh  
f)JdDf'K  
　　cos（3π/2-α）= -sinα n4@KgK%=  
K`-/mpi3F  
　　tan（3π/2-α）= cotα ,q\Scv  
c YfR  
　　cot（3π/2-α）= tanα vJ3`{@=  
:'Woq  
　　(以上k∈Z) 73J'sM$4?1  
5{)*- Z"(  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 g~e1ann  
aT4#, wyG  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /d  64oI  
$gJjNyj)DO  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !KK*i:+.O  
*(2 SUM  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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